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Combinatoria: ¿Si tengo un grupo, cuántas formas de ordenarlo habrá?

Arbol de combinacionesArbol de combinaciones

¿Si tengo un grupo, cuántas formas de ordenarlo habrá?

Permutaciones

Suponga que usemos palabras, que al fin y al cabo, son grupos de letras, por ejemplo la palabra MAL. A propósito elegí una corta con todas sus letras distintas. Si cambio las letras de lugar, ¿cuántas palabras ilegibles de 3 letras puedo hacer? Elijo una letra, por cada letra que elijo tengo otras 2, y por cada una de esas queda una sobrante. O sea que tengo 3 * 2 * 1 = 6 palabras. Se puede graficar en un árbol de combinaciones.

Cuando multiplico por todos los números desde un número determinado -en este caso cantidad de letras-  en una escala descendente de 1 en 1 hasta llegar al 1, estoy hallando un factorial. El factorial de n ( n es la cantidad de miembros que tiene el grupo) se representa por n !  Así 3! =  3 * 2 * 1 = 6

Si n aumenta, las posibilidades crecen alocadamente. Será por eso que le pusieron un signo de exclamación. Para 5! hay 120, para 6! hay 720, al llegar al 10 ya se llega a más de 3 millones y medio. Crece con una aceleración de vértigo. Cuando cuento todos los intercambios posibles en el orden de un grupo, sin quitar elementos, se trata de una permutación, y los resultados suelen ser abrumadores.

La lista de palabras imposibles sería:


LAM

LMA

MAL

MLA

ALM

AML


Este caso es soportable. Si alguna letra se repite, son menos casos porque cuando intercambio letras iguales queda lo mismo. Por ejemplo, ALA. Cuando paso la 1º A al 3º lugar y viceversa, sigue diciendo ALA.


ALA

AAL

LAA

La A se repite 2 veces.  En cada palabra podría formar la misma combinación dos veces, intercambiando las A , obteniendo de dos formas distintas lo mismo. O sea que me sobra la mitad.  Así que la fórmula ahora tiene que ser 3!/2! = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 6/2 = 3. 

Veamos la palabra RESPUESTA.

n = 9  Tiene 9 letras.

Se repiten 2 veces la E y la S. Por cada intercambio de E puedo hacer dos palabras donde sólo se intercambien las dos S que dan siempre el mismo resultado.

La fórmula entonces es  p= 9!/( 2! * 2! ) = (9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2)/(2 * 2) = 90720 posibilidades. Una de esas posibilidades es una palabra castellana también: PUESTERAS, lo que se dice un anagrama. ¿Habrá otra, o todas las otras 90718 palabras son inútiles?

Hay otra. ¿Se anima a encontrarla? PISTA: Es un verbo en pasado.

La combinatoria, como pueden ver, es el arte de contar usando la lógica y fórmulas, sin tener que detallar cada elemento uno por uno, lo cual es engorroso y lleva mucho tiempo. Es una rama de la matemática que surgió de la mano del cálculo de las probabilidades y las estadísticas. Y su principal motivación no era muy santa que digamos, pretendían encontrar formas fiables para ganar apuestas en juegos de azar. Puesto que para calcular probabilidades preciso saber cuántas posibilidades hay y cuántas de ellas son favorables.

Otra aplicación es la criptografía. Quien no conoce las normas para su decodificación, jamás podrá descifrarla porque es imposible comprobar todas las posibilidades.

Triángulo ingenioso

Otros casos de combinatoria

Los otros casos que restan son: cuántos subgrupos puedo armar con un grupo mayor, importando o no el orden en que figuren. Por ejemplo, si importa el orden un ejemplo sería la cantidad de combinaciones de una caja fuerte cuya clave consiste en una letra seguida de 2 dígitos del 0 al 9. Como hay 28 letras habría 28 * 10 * 10 = 2800 claves posibles.  No son tantas. El PIN de un cajero automático sería de 10^4 combinaciones, unas 10.000 (eso es obvio) pero retiene la tarjeta al 3º intento fallido. En estos casos se permiten  las repeticiones. La fórmula es n^k   donde n es la cantidad de elementos y k la cantidad que permite cada subgrupo.


Si no puede repetirse, como cuando quiero ver cuántas formas hay de ordenar una pareja a partir  de 3 actores, donde el 1º se sienta a la izquierda y el 2º a la derecha.
 3 * 2 = 6 maneras.  ( 3! / (3 - 2) ! ). La fórmula es n! / (n - k)! donde n es el número total de elementos y k el número de miembros que puede tener el grupo, n>=k ( n es mayor o igual que k).

Si no importa el orden tenemos el caso de cuántos grupos de 3 personas se pueden armar con 6 adultos. Para eso se inventó el número combinatorio de Newton. Se representa con un paréntesis de 2 renglones de alto donde va n arriba y k abajo. Por no contar con ese símbolo , aquí lo represento así: (6 - 3 ). De un grupo de 6, grupos de 3. Es fácil de hallar usando el Triángulo de Pascal y Tartaglia.  Cada número se obtiene sumando los dos vecinos que lo custodian de arriba y poniéndose en la fila inferior entre ambos. En el vértice y bordes del triángulo se remata con unos.                       
(6 - 3 ) =  6! / ( 3! * (6 - 3)! )  = (6 * 5 * 4 * 3!) / ( 3! * 3! ) = (6 * 5 * 4) / ( 3 * 2) = 20 grupos


                                                                              1
                                                                        1          1
                                                                  1          2         1
                                                            1          3          3        1
                                                       1          4         6         4        1
                                                 1         5         10        10        5       1
                                           1          6         15       20       15        6       1
                                      1         7        21        35        35       21      7       1


                                                                                   

Borges y el Universo

Literatura: Borges y la Biblioteca de Babel

Hasta Jorge Luis Borges jugó con la idea de comparar al Universo con  una exhaustiva combinatoria sin finalidad visible. Una Biblioteca que contuviese todos los libros posibles, con todas las palabras que pudieran hacerse con 22 letras y 3 signos, aunque no tengan sentido. Los dispone en un inmenso panal donde cada hexágono tiene 4 paredes con  5  anaqueles y 2 salidas. Cada hexágono tiene un pozo sin fondo ni techo en el medio, con esa inminente sensación de cercanía a la muerte porque sus barandas son bajísimas. Da a un zaguán y todos iguales, se despliegan en todas las direcciones con escaleras en espiral que atraviesan el abismo. Es eterna y no hay dos libros idénticos.

"A cada uno de los muros de cada hexágono corresponden cinco anaqueles; cada anaquel encierra treinta y dos libros de formato uniforme; cada libro es de cuatrocientas diez páginas; cada página, de cuarenta renglones; cada renglón, de unas ochenta letras de color negro."  
Lo describe con claras alusiones a la realidad, con su particular filosofía amarga y pesimista. Algo infinito, donde el hombre busca, pretendiendo encontrar explicaciones a través de la religión, de la herejía, del oscurantismo o pretendiendo seguir un método como en la ciencia, totalmente inútil. Hasta se venera a un supuesto profeta que descubrió el libro que lo explica todo, hace siglos. Pero aunque ese libro existe, es imposible hallarlo porque está perdido en el infinito.
Aunque pueda sacarse una cifra grandísima de cuántos libros pueda haber, concluye que no probaría que tiene fin, porque ese desorden podría repetirse una y otra vez.
Es un Universo sin justificación posible y sin esperanza. No es precisamente apto para un depresivo.

Referencias:

Galeria

Comentarios

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