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Cómo es el teorema de pitágoras?

Comprobación con cuadradosComprobación con cuadrados

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras enuncia que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo interior de 90º (un ángulo recto). Los lados del ángulo recto son perpendiculares y se llaman catetos. La hipotenusa es el lado mayor, enfrentado al ángulo recto. Si lo dibujamos con base en uno de los catetos aparece siempre como un lado oblicuo, en tanto que un cateto es horizontal y el otro es vertical. Si seguimos la convención de llamar a la hipotenusa a, b al cateto horizontal y c al cateto vertical, la expresión del teorema sería:

a^2 = b^2 + c^2

Para los griegos, cuadrado era el cuadrilátero con sus ángulos rectos y lados congruentes, no era multiplicar a un número por sí mismo.
Convenimos en que los ángulos toman el nombre del lado opuesto. A es el ángulo recto, B es el ángulo adyacente a la base y C es el ángulo opuesto a la base . Como la suma de los 3 ángulos en un triángulo da siempre 180º (otro hallazgo pitagórico), si uno mide 90º los otros 2 ángulos agudos tienen que sumar otros 90º entre sí. Cuando 2 ángulos suman 90º se dice que son complementarios.
Así el complementario de 60º es 30º porque 60º + 30º = 90º y el complementario de 50º es 40º.

Se dice que este teorema fue descubierto en la Antigüedad por Pitágoras de Samos (isla griega del Asia Menor) que vivió casi cien años  (entre 580 a. C. y 495 a.C.), y terminó sus días en Crotona, una colonia griega del sur de Italia (la Grecia Magna). Fue el primer filósofo dedicado enteramente a las matemáticas. Pero en realidad no se sabe si fueron sus seguidores de la escuela pitagórica. 

Anteriormente, los egipcios, babilonios e indios lo habían descubierto sin probarlo con una argumentación. Se conocían ternas de números enteros que cumplían la propiedad. Se las conoce como ternas pitagóricas.
( 3 , 4 , 5 ) ( 5, 12, 13) ( 7, 24, 25) ( 8, 15, 17) ( 9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37), entre otras. Estas ternas son algunas de las  primitivas, así denominadas porque no tienen divisores comunes salvo la unidad. También la propiedad fue descubierta por los chinos con posterioridad en el 250 a.C. 
¿Probamos una?   5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2

Tiene muchísimas demostraciones distintas. En el medioevo una condición para adquirir la maestría era descubrir una demostración inédita. Se piensa que hay más de mil demostraciones, entre ellas las de Leonardo Da Vinci y Euclides.

Círculo unitario

Trigonometría

También el triángulo rectángulo sirvió de base para estudiar las relaciones entre sus lados y ángulos: las razones (proporciones a veces aproximadas) trigonométricas. La trigonometría es importantísima, donde se estudian funciones como seno, coseno y tangente de un ángulo, presentes en cualquier calculadora científica. Se parte de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es igual a la unidad y es además el radio de un círculo (círculo unitario) que cubre 360º, un giro completo. Facilita su cálculo el hecho de que los ángulos agudos sean complementarios. Pero esto es otro tema que debe estudiarse aparte. Sólo agregaré que del teorema surge:


La relación pitagórica:

sen^2 a + cos^2 a = 1

Donde seno es el cateto opuesto (el vertical) y el coseno es el cateto adyacente a la base (el horizontal) y la unidad es la hipotenusa o radio al cuadrado. Para tener esto más en claro hay que conocer gráficos cartesianos.

Irracionales

Números irracionales

Uno de los descubrimientos que fueron una consecuencia del Teorema de Pitágoras es el de los números irracionales, es decir números que no pueden representarse como fracciones de números enteros. 

Al tratar de hallar la hipotenusa de un triángulo con catetos iguales a la unidad se concluyó que la hipotenusa era igual a la raíz cuadrada de 2.
1^2 + 1^2 = 2 = (raíz (2))^2
raíz (2) = 1.414213562...
Luego se demostró que ese número no era racional (fraccionario). Tiene infinitos decimales que no siguen una sucesión que, cada tanto, se repita. Lo mismo sucede con todas las raíces que no dan un resultado entero como la raíz de 3, de 5, de 6, de 7, etc. Esto derribó el fundamento de lo que creían los pitagóricos, que los números eran exactos y precisos.
Esta cuestión también surge cuando queremos medir la diagonal de un cuadrado de lado unitario o por ejemplo, la diagonal de un rectángulo de 1x2 que divide al cuadrilátero en dos triángulos rectángulos, donde la hipotenusa es la diagonal. Por Pitágoras la diagonal es igual a 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = (raíz (5))^2, o sea raíz (5). 
De ahí que Pitágoras creyera que eran lados inconmensurables. Después se hallarían métodos para aproximarse tanto como uno quisiera.

Referencias:

Galeria

Comentarios

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